
\section{数列极限的概念}
\label{sec:the-definition-of-sequence-limit}

\subsection{极限的定义}
\label{sec:definition-number-sequence-limit}

在中学数学中，我们熟知反比例函数$f(x)=1/x$的图象在向无穷远处延伸时，它会无限的向横轴靠近，当$x$取正值并无限的增大时，其第一象限的一支会无限的向$x$轴正半轴靠近，但无论$x$取多大，因为$1/x>0$，所以它始终不会与$x$轴相交，这给了我们一种“无限接近但是不会相等”的直观感受。

同样的情况还有许多，我们就准备来详细的讨论下这种“无限接近又不相等”的现象。

上面反比例函数的例子是针对函数而言的，我们先从较为简单的数列开始，同样可以得到数列$x_n=1/n$这个数列，在$n$取正整数并无限增大时，数列的值无限的接近零，但却总是大于零，我们来从这种现象中提取 \emph{极限} 的概念。

首先要指出的是这里“无限接近但不等于”中的“不等于”其实是无关紧要的，例如在数列$1/n$中把下标为偶数的项全部换成零，那么这个"无限"接近并没有被破坏，而且它仍然给我们以极限的印象，只是它在下标增大的过程中，可以无限次的取极限值，而且从这个例子中还可得知，数列的单调性也不是必要的。

我们先给出一个初步的定义: 如果数列$x_n$在随着$n$的无限增大过程中可以无限的接近一个常数$A$，则称$A$是这数列当$n$趋于无穷大时的极限。

这个定义不会令人满意，因为作为数学上的一个定义，它需要具备精确性，而这个定义中出现了“无限接近”这样含义模糊不清的描述，利用这个定义，我们很难说明一个给定常数是否是一个数列的极限，我们需要将它严格化。

所谓数列$x_n$“无限接近”于常数$A$，自然指的是差值$|x_n-A|$可以任意的小，所以我们进行第一步严格化：把数列$x_n$无限接近常数$A$严格化成差值$|x_n-A|$可以任意小，于是极限的定义可以重新叙述为: 对于数列$x_n$和常数$A$，如果数列$x_n$当$n$无限增大时差值$|x_n-A|$可以任意的小，则称常数$A$是数列$x_n$当$n$趋向于无穷大时的极限。

然后我们考虑如何刻画“可以任意的小”，那就是说，差值$|x_n-A|$可以小于任意的正实数$\varepsilon$，而不管这正实数$\varepsilon$有多小。初看起来，“可以小于任意的正实数”，似乎只要存在正整数$n$，使得$|x_n-A|<\varepsilon$就可以了，也就是如下的极限定义: 对于数列$x_n$和常数$A$，如果对于无论多么小的正实数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得$|x_N-A|<\varepsilon$成立，则称常数$A$是数列$x_n$在下标趋于无穷大时的极限。

这个定义看上去似乎非常符合$1/n$这个数列的特征，不管多么小的正实数$\varepsilon$，总能找到使$1/n < \varepsilon$成立的$n$，只要$n$取的足够大。然而这个定义却有一个严重的问题，我们把数列$1/n$中下标为偶数的项全部换成1，所得到的新数列显然不应该有极限，因为它的奇数下标项趋于零而偶数下标项恒为1，按我们的直观感受，它的值并不无限靠近零，也不无限靠近1，0和1都不应该是它的极限，但是按照上面的定义，它却是符合条件的！

问题出在哪呢，仍然以这个把偶数下标项都替换为1的新数列为例，显然，存在正整数$N$使得$|x_n-A|<\varepsilon$这个条件，是无法保证数列的全部项都向常数$A$靠近的，它只能保证数列中有一部分项会向常数$A$靠近，刚才这个例子也说明了这一点，所以我们需要一个更强的能保证数列的所有项都要向常数$A$靠近，我们把存在正整数$N$使得$|x_N-A|<\varepsilon$成立，改为存在正整数$N$，使得$n>N$时$|x_n-A|<\varepsilon$恒成立，这样一来这个新数列就不满足这条件了，而原来的数列$1/n$却满足这条件。

这个新的条件，利用$n>N$时$|x_n-A|<\varepsilon$恒成立，来保证了数列向$A$靠近的总体趋势。这就是我们最终的极限定义，这个定义，从模糊到精确，别看在这几段话就给出了，实际上在历史上经过了几代数学家的努力，最后才由德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass, 1815.10.31-1897.2.19)在总结前人成果的基础上给出，这个精确定义，是人类智慧的结晶。

\begin{definition}
  对于实数数列${a_n}$和实数$a$，如果对于任意小的正实数$\varepsilon$，都存在某一下标$N$，使得该数列在这之后的所有项(即$n>N$)都满足
  \begin{equation}
    \label{eq:the-definition-of-sequence-limit}
    |a_n-a|<\varepsilon
  \end{equation}
  则称该数列存在极限，实数$a$称为该数列的极限。也称该数列为收敛数列，并且收敛到实数$a$，记为
  \begin{equation}
    \label{eq:limit-definition-for-number-sequence}
    \lim_{n \to \infty}x_n = a
  \end{equation}
\end{definition}

极限为零的数列称为无穷小数列，简称\emph{无穷小}。如果数列不存在有限的极限，称为数列为\emph{发散数列}。

如果数列无论对于多大的实数$M>0$，总能从某项开始，后续的全部项都有$a_n>M$，则称数列为\emph{正无穷大}。类似的也有负无穷大和(绝对值)无穷大的概念。

\subsection{一些例子}
\label{sec:some-example-for-number-sequence}

\begin{example}
  设实数$a>1$，则
  \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a^n} = 0 \]

  对于无论多么小的正实数$\varepsilon$，为了找到极限定义中所要求的$N$，考虑不等式
  \[ \frac{1}{a^n} < \varepsilon \]
  也就是$a^n>1/\varepsilon$，设$a=1+\lambda$，则$\lambda>0$，按二项式定理有\footnote{我们这里并没有从$a^n>1/\varepsilon$中直接使用对数来得出$n>\log_a{(1/\varepsilon)}$，这是因为尽管中学数学中已经学过对数概念，但那时还没有给出无理指数幂的定义，所以指数的定义是不完整的，因此我们无法确认，对于底数$a$，正实数$1/\varepsilon$的对数是否存在，以后我们将在\autoref{sec:the-power-of-real-with-rational-exponent}中专门讨论指数的定义和值域问题。}
  \[ a^n = (1+\lambda)^n = 1 + n\lambda + \frac{n(n-1)}{2!}\lambda^2+\cdots+\lambda^n > 1+n \lambda \]
  所以只要$1+n\lambda>1/\varepsilon$，便能保证$a^n>1/\varepsilon$成立，也就是只需要$n > (1/\varepsilon-1) / (a-1)$就行了，所以只要选择$N>(1/\varepsilon-1)/(a-1)$就行了，这就证得了此极限。
\end{example}

\begin{example}
  \label{example:limit-of-n-sqrt-a-when-a-greater-than-1}
  设实数$a>1$且$a \neq 1$，则 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$

  \begin{proof}[证明一]
    利用乘法公式$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1)$可得
    \[ \sqrt[n]{a}-1 = \frac{a-1}{(\sqrt[n]{a})^{n-1}+(\sqrt[n]{a})^{n-2}+\cdots+1} < \frac{1}{n}(a-1) \]
   于是对于任意正实数$\varepsilon$，只要取$N>\frac{a-1}{\varepsilon}$便能保证$n>N$时有$0<\sqrt[n]{a}-1<\varepsilon$,所以这极限得证。
  \end{proof}

  \begin{proof}[证明二]
    设$z_n=\sqrt[n]{a}-1$，则
    \[ a = (1+z_n)^n = 1+ nz_n+\frac{1}{2!}z_n^2+\cdots+z_n^n > 1+ n z_n \]
    所以得到
    \[ 0<z_n<\frac{1}{n}(a-1) \]
    下同证明一.
  \end{proof}
\end{example}


%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "../../calculus-note"
%%% End:
